Разъясните, пожалуйста, как можно выписать родственника из квартиры?

с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае изменения места жительства, на основании заявления самого гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства. Такие положения закреплены в постановлении Правительства Российской Федерации № 713 от 17.07.1995 «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации».
Снятие гражданина с регистрационного учета по доверенности в указанных Правилах не предусмотрено.
Таким образом, вы самостоятельно при наличии доверенности снять с регистрационного учета гражданина не сможете.